Humour math�matique

L’histoire de � 2+2=5 �

La preuve ultime du grand th�or�me de Fermat  

L'histoire de 2 + 2 = 5

par Houston Euler (traduite et adapt�e par moi  )

"Par dessus tout, c'�tait un logicien.  Au moins trente-cinq ann�es de son demi-si�cle d'existence avaient �t� exclusivement d�vou�es � d�montrer que deux et deux font toujours quatre, sauf  dans certaines situations exceptionnelles, o� ils font trois ou cinq suivant le cas"

                                           Jacques Futrelle, "le probl�me de la cellule 13"

La plupart des math�maticiens sont habitu�s  — ou du moins ont vu dans la litt�rature des r�f�rences  — � l'�quation 2 + 2 = 4. Cependant,  l'�quation 2 + 2 = 5, moins connue, a elle aussi une riche et complexe histoire derri�re elle. Comme toute autre quantit� complexe, cette histoire a une partie r�elle et une partie imaginaire ; c'est de  cette derni�re que nous nous occuperons exclusivement ici.

De nombreuses cultures, dans les premi�res �tapes de leur d�veloppement math�matique, d�couvrirent l'�quation 2 + 2 = 5. Par exemple, la tribu des Bolbs, descendante des Incas d'Am�rique du Sud, comptait en marquant des nœuds sur des cordes. Ils comprirent vite que lorsque une corde � deux nœuds est jointe � une autre corde � deux nœuds, il en r�sulte une corde � cinq nœuds.

De r�centes d�couvertes indiquent que  les Pythagoriciens avaient d�couvert une preuve de ce que 2 + 2 = 5, mais que cette preuve ne fut jamais mise par �crit. Contrairement � ce qu'on pourrait penser, la non-apparition de la preuve ne fut pas caus�e par une dissimulation analogue � celle tent�e pour la d�couverte de l'irrationalit� de racine de 2. En fait, ils ne purent tout simplement pas payer les services de scribes. Ils avaient perdus leurs subventions, � la suite des protestations d'un groupe d'activistes d�fenseurs des droits des bœufs, qui n'approuvaient pas la fa�on dont la Fraternit� c�l�brait la d�couverte de th�or�mes. Il en r�sulta que l'�quation 2 + 2 = 4 fut la seule utilis�e dans les �l�ments d'Euclide, et l'on n'entendit plus parler de 2 + 2 = 5 durant plusieurs si�cles.

Vers l'an 1200, L�onard de Pise (Fibonacci) d�couvrit que quelques semaines apr�s avoir mis deux lapins m�les plus deux lapins femelles dans la m�me cage, il se retrouvait avec consid�rablement plus de quatre lapins. Craignant qu'une contradiction trop importante avec la valeur 4 donn�e par Euclide soit accueillie avec hostilit�, L�onard annon�a prudemment que � 2 + 2 semble plus proche de 5 que de 4 �. M�me cet expos� raisonnable de ses r�sultats fut s�v�rement critiqu�, et faillit mener L�onard � une condamnation pour h�r�sie, ses justifications maladroites � l'aide de l'�quation 1=3 n'ayant pas convaincu Rome. Soit dit en passant, il persista dans son habitude de sous-estimer le nombre des lapins ; son c�l�bre mod�le de populations fait appara�tre deux nouveaux lapereaux � chaque naissance, une sous-estimation grossi�re s'il en fut jamais une.

Quelque quatre cents ans plus tard, la piste fut � nouveau reprise, cette fois par les math�maticiens fran�ais.  Descartes annon�a : � Je pense que 2 + 2 = 5 ; par cons�quent cela est �.  Cependant, d'autres object�rent que son argument n'�tait pas compl�tement rigoureux. Il semble que Fermat ait eu une preuve plus solide qui devait appara�tre dans un de ses livres, mais cette preuve, et d'autres r�sultats, fut supprim�e par l'�diteur pour que le livre puisse �tre imprim� avec des marges plus larges.

Entre l'absence d'une d�monstration d�finitive de 2 + 2 = 5, et l'excitation cr��e par le d�veloppement du calcul infinit�simal, les math�maticiens, vers 1700, s'�taient � nouveau d�sint�ress�s de l'�quation. En fait, la seule r�f�rence connue du 18^�me si�cle � 2 + 2 = 5 est due � l'�v�que Berkeley qui, la d�couvrant dans un vieux manuscrit, eut ce commentaire ironique : � Bon, � pr�sent je sais o� toutes ces quantit�s �vanescentes sont parties : � droite de l'�quation �.

Mais au d�but du 19^�me si�cle, la valeur exacte de 2 + 2 recommen�a � prendre une grande importance. Riemann d�veloppa une arithm�tique dans laquelle 2 + 2 = 5, parall�le � l'arithm�tique euclidienne o�  2 + 2 = 4. De plus, durant cette p�riode, Gauss construisit une arithm�tique o� 2 + 2 = 3, mais, craignant de n'�tre pas compris par les b�otiens, il ne la publia pas, et d�couragea Bolyai de s'engager sur une voie analogue. Naturellement, il en r�sulta des d�cennies de grande incertitude concernant la v�ritable valeur de 2+2. En raison des opinions changeantes � ce sujet, la preuve de Kempe, en 1880, du th�or�me des quatre couleurs, fut r�put�e, 11 ans plus tard, �tre en fait une preuve du th�or�me des 5 couleurs. Dedekind entra dans ce d�bat avec un article intitul� � Was ist und was sollen 2 + 2? �

Frege pensa avoir r�gl� la question alors qu'il pr�parait une version abr�g�e de son � Begriffsschrift �. Ce r�sum�, intitul� � Die Kleine Begriffsschrift � (le petit  Schrift), contenait ce qu'il pensait �tre une preuve d�finitive de 2 + 2 = 5. Mais alors qu'il �tait sous presse,  Frege re�u une lettre de Bertrand Russell, lui rappelant que dans � Grundbeefen der Mathematik �, Frege avait lui-m�me d�montr� que  2 + 2 = 4. Cette  contradiction d�couragea tant Frege qu'il abandonna compl�tement les math�matiques pour se consacrer � l'administration universitaire.

Face � cette profonde (et troublante) question fondamentale concernant la valeur exacte de 2 + 2, les math�maticiens suivirent  la voie la plus naturelle : ils choisirent prudemment d'�viter les paradoxes ainsi cr��s, et se cantonn�rent au champ des math�matiques � orthodoxes �, o� 2+2 = 4. Durant le 20^�me si�cle, il n'y eut pour ainsi dire aucune tentative de d�veloppement de l'�quation rivale. Des rumeurs pr�tendaient que Bourbaki aurait pr�vu de consacrer un volume � 2 + 2 = 5 (dont les quarante premi�res pages seraient occup�es par l'expression symbolique du nombre cinq), mais elles n'ont jamais �t� confirm�es. R�cemment, cependant, on a entendu parler de preuves assist�es par ordinateur de ce que 2 + 2 = 5, utilisant souvent les ordinateurs de soci�t�s boursi�res. Peut-�tre le 21^�me si�cle verra-t-il une nouvelle renaissance de cette �quation historique.

La preuve ultime du grand th�or�me de Fermat

Vous qui avez travaill� sur le grand th�or�me de Fermat, vous pouvez  mettre fin � vos efforts. J'ai construit une d�monstration dont la simplicit� ne peut �tre surpass�e.

�nonc�: pour tout entier n>2, il n'existe pas d'entiers non nuls  x, y et z tels que xⁿ+yⁿ=zⁿ.

D�monstration:

-----------------------

Oui, vous avez bien lu !  Ma d�monstration  est…  la d�monstration vide ! Cette d�monstration a de nombreux avantages, quand on la compare � celles produites par d'autres auteurs :

1)  Quand on prend la mesure du sens de l'humour de Fermat, on se rend compte que ceci est la preuve � laquelle il pensait. La marge trop �troite? Ha ! La d�monstration figurait dans la marge depuis le d�but, mais les math�maticiens, incapable de se lib�rer de leur vision �triqu�e de ce qui constitue une preuve, furent simplement incapables de la voir. (on m'a fait remarquer qu'un certain Dupin aurait construit une d�monstration similaire (l'anecdote est rapport�e par E.A.Poe dans "La Lettre Vol�e"), mais bien entendu, l'analogie entre les deux d�monstrations ne saurait �tre que superficielle, celle de Dupin ne concernant la th�orie des nombres que dans ses rapports � la cryptographie.)

2)  Elle est br�ve.

3)  C'est (et ce sera) ma seule et unique version.

4)  Il n'y a aucune lacune de raisonnement, aucun saut injustifi� entre les �tapes.

5)  Il n'y a aucune d�finition inusit�e ou non math�matique; aucune tentative de reformuler l'�nonc�.

Naturellement, des math�maticiens envieux  ont tent� de critiquer ma d�monstration. Mais aucun de leurs contre-arguments ne tient la route : 

a) � Ce n'est pas une preuve. C'est tout simplement idiot. �

Ce n'est pas un contre-argument.  C'est seulement une fanfaronnade.  Jusqu'� ce que quelqu'un produise un contre-exemple, ou pr�cise le point exact o� ma preuve est insuffisante, je consid�rerai ma d�monstration comme valide. Vos attitudes �motionnelles ne peuvent pas servir de substitut � la  logique.

b) � Hmm, en quoi ceci est-il une d�monstration du th�or�me de Fermat plut�t que, mettons, de n'importe quel autre th�or�me? Pourquoi ne pas affirmer que vous avez d�montr� l'hypoth�se de Riemann? �

Qu'est-ce qui fait de n'importe quelle preuve une preuve de ce qu'elle prouve plut�t qu'une preuve d'autre chose? Le fait qu'elle le prouve. Qu'est-ce qu'il vous faut de plus?

 c) � Ridicule. C'est m�me difficile de la commenter. Une d�monstration doit prouver quelque chose. Une d�monstration est une s�rie d'assertions qui am�nent � un r�sultat. Les d�monstrations ont forc�ment un contenu s�mantique. M�me les d�monstrations les plus insens�es ont au moins un contenu syntaxique.  Votre � d�monstration � n'est pas plus une preuve du grand th�or�me de Fermat que ne l'est une bo�te de sardines (qui, soit dit en passant, a au moins un contenu). �

Une bo�te de sardines?  Encore des arguments hyst�riques.  Encore un math�maticien qui pr�tend que vous trichez si vous ne respectez pas ses r�gles. Avez-vous produit un contre-exemple?  Avez-vous trouv� un endroit pr�cis de ma preuve qui soit erron�? Alors fermez-la.

Il est d�j� p�nible de constater que la communaut� math�matique, repli�e sur elle-m�me, refuse de reconna�tre ma gloire. Mais qu'elle ajoute � cela le m�pris et les insultes… Oh, je ne devrais pas me montrer surpris. Toujours la m�me vieille histoire: la noblesse et l'intelligence pourchass�e par la meute vicieuse des ignorants. Soupir…