Voir la source de Idéal maximal

=== Anneau principal ===
Dans un [[anneau principal]] (cas particulier d'anneau de Dedekind), on a de plus : tout élément irréductible est [[élément premier|premier]] (comme dans tout [[Anneau à PGCD|anneau intègre à PGCD]]). Par conséquent :
{{énoncé|Pour tout élément ''p'' d'un [[Idéal premier#Idéaux premiers dans un anneau principal|anneau principal, les propriétés suivantes sont équivalentes]] :
*''p'' est premier ;
*''p'' est irréductible ;
*l'idéal (''p'') est maximal.
}}
{{Exemple|nom=Exemples|
* Les idéaux maximaux de l'anneau ([[anneau euclidien|euclidien]], donc principal) ℤ des entiers relatifs sont les idéaux de la forme ''p''ℤ, pour ''p'' un nombre premier.
* Si ''K'' est un [[corps commutatif]], les idéaux maximaux de l'anneau euclidien ''K''[''X''] sont les idéaux engendrés par les polynômes irréductibles. Cette propriété permet par exemple de construire le [[corps de rupture]] d'un polynôme irréductible. Si ''K'' est [[Corps algébriquement clos|algébriquement clos]] (par exemple si ''K'' est le corps des [[nombre complexe|nombres complexes]]), les polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1.
}}