Voir la source de Valeur propre (synthèse)

=== Polynôme minimal ===
{{Article détaillé|Polynôme minimal d'un endomorphisme}}
On se place ici dans le cadre d'un espace vectoriel ''E'' de dimension finie.

On appelle « polynôme minimal » de ''u ''le [[polynôme unitaire]] de plus petit degré qui annule ''u''. Le polynôme minimal donne une relation de [[dépendance linéaire]] sur les puissances ''u''<sup>0</sup>, ''u''<sup>1</sup>, ''u''<sup>2</sup>, …, de l'endomorphisme, et réciproquement une telle relation de dépendance linéaire fournit un polynôme annulateur de ''u'', le polynôme minimal en minimisant le degré et en prenant le coefficient&nbsp;1 pour la plus grande puissance de ''u'' qui intervient.

* Les racines du polynôme minimal sont les valeurs propres de ''u''.
: Si le polynôme minimal se factorise ''M ''= (''X ''– λ)''Q'', alors ''M''(''u'') = (''u ''– λ{{math|Id}})∘''Q''(''u'') est l'endomorphisme nul, alors que ''Q''(''u'') ne l'est pas (car le degré de ''Q'' est trop bas). Par conséquent il existe des vecteurs non nuls dans l'image de ''Q''(''u''), qui sont des vecteurs propres pour λ.
* Plus généralement pour tout entier ''i ''≥ 1, le polynôme minimal est divisible par (''X ''– λ){{exp|''i''}} si et seulement si le noyau de (''u ''– λ{{math|Id}}){{exp|''i''}} est strictement plus grand que celui de (''u ''– λ{{math|Id}}){{exp|''i''–1}}. Par conséquent, la multiplicité ''m'' de λ comme racine du polynôme minimal est égale au plus petit exposant tel que le noyau de (''u ''– λ{{math|Id}}){{exp|''m''}} soit égal au sous-espace caractéristique associé à la valeur propre λ. On l’appelle multiplicité minimale de λ.
* Soit ''a'' un [[automorphisme]] de ''E'', alors ''u'' et ''aua''{{-1}} ont même polynôme minimal (et donc mêmes valeurs propres). Autrement dit le polynôme minimal est un [[matrice semblable|invariant de similitude]] de l'endomorphisme.<br />En effet, ''P''(''aua''{{-1}}) est égal à ''aP''(''u'')''a''{{-1}}, pour tout polynôme ''P''.
* Sur un corps algébriquement clos, le polynôme minimal (comme tout polynôme non nul) est [[Racine d'un polynôme#Définitions connexes|scindé]], et possède donc au moins une racine, qui est valeur propre de ''u'' (exception : si la dimension de ''E'' est nulle, le polynôme minimal est 1, tout comme le polynôme caractéristique, et ''u'' n'a pas de valeur propre).
* Le [[théorème de Cayley-Hamilton]] permet d'affirmer que le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique