Argument d'un nombre complexe

Cette figure montre qu'un argument n'est pas unique. Ajouter $2\pi$ à un argument (i.e. faire un tour de plus) donne toujours un argument.

En mathématiques, plus précisément en analyse complexe, un argument d’un nombre complexe $z$ est une mesure de l'angle entre la demi-droite des nombres réels positifs (l'axe des abscisses) et celle issue de l'origine et passant par le point représenté par $z$ (voir la figure ci-contre). La notion d'argument n'a pas de sens pour zéro. On mesure un argument en radians. Il n'y a pas de valeur unique pour un argument puisque les angles sont les mêmes modulo $2π$ . Si l'on souhaite une valeur unique, on peut utiliser la notion d'argument principal, qui est l'unique valeur dans $]-\pi ,\pi ]$ .

Définition[modifier | modifier le code]

Dans le plan complexe, si $z$ est l'affixe du point $M$ , alors un argument de $z$ correspond à une mesure de l'angle $({\overrightarrow {Ox}},\;{\overrightarrow {OM}})$ .

Étant donné un nombre complexe $z$ non nul, un argument de $z$ est une mesure (en radians, donc modulo 2π) de l’angle :

({\overrightarrow {Ox}},\;{\overrightarrow {OM}})

où $M$ est l'image de $z$ dans le plan complexe, c'est-à-dire le point d'affixe $z$ .

De manière équivalente, un argument de $z=x+iy$ est un nombre réel $\theta$ tel que :

\cos \theta ={\frac {\Re (z)}{|z|}}={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\quad {\text{et}}\quad \sin \theta ={\frac {\Im (z)}{|z|}}={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}

,

Représentation des valeurs possibles de l'argument, avec sa branche principale hachurée en rouge.

où $\Re (z)=x$ , $\Im (z)=y$ et $\left|z\right|$ sont respectivement les parties réelle et imaginaire et le module de $z$ .

Souvent, on note un argument du nombre complexe $z$ de façon simplifiée par :

\arg z=\theta

ou plus précisément :

\arg z\equiv \theta {\bmod {2\pi }}

.

Remarque : en anglais, on parle parfois de la phase^[1] ou de l'amplitude^[2] d'un nombre complexe : $\mathrm {ph} (z)$ .

Argument principal[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Argument principal d'un nombre complexe.

L'argument principal de $z$ , noté ${\text{Arg }}z$ , est la mesure principale de l'angle $({\overrightarrow {Ox}},\;{\overrightarrow {OM}})$ , soit celle qui appartient à l'intervalle $]-\pi ,\pi ]$ ; on a donc : $\arg z\equiv {\text{Arg }}z{\bmod {2\pi }}$ .

Formules de calcul[modifier | modifier le code]

Si $z$ n'est pas un imaginaire pur, $\tan(\arg z)={\frac {y}{x}}={\frac {z-{\bar {z}}}{\mathrm {i} \left(z+{\bar {z}}\right)}}$ , où ${\bar {z}}$ est le conjugué de $z$ et donc :
si $x=\Re (z)>0$ , ${\text{Arg }}z={\text{Arctan}}{\frac {y}{x}}={\text{Arctan}}{\frac {z-{\bar {z}}}{\mathrm {i} \left(z+{\bar {z}}\right)}}$ .
De manière plus générale, l'argument principal d'un nombre complexe $z$ non nul est entièrement déterminé de la façon suivante :
${\text{Arg }}z={\begin{cases}2{\text{ Arctan}}{\frac {y}{x+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\text{si }}z\notin \mathbb {R} _{-}\\\pi &{\text{si }}z\in \mathbb {R} _{-}^{*}{\text{.}}\end{cases}}$

Cette expression se déduit d'une des formules de l'arc moitié, $\tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}$ .

Propriétés[modifier | modifier le code]

Soient $z$ , $z$ ₁ et $z$ ₂ des complexes non nuls. On a, ${\bmod {2\pi }}$ :

\arg(z_{1}z_{2})\equiv \arg z_{1}+\arg z_{2}

.

En particulier :

pour tout réel $a$ non nul : $\arg(az)\equiv {\begin{cases}\arg z&{\text{si }}a>0\\(\arg z)+\pi &{\text{si }}a<0{\text{ ;}}\end{cases}}$
pour tout entier relatif $n$ : $\arg(z^{n})\equiv n\arg z$ .

Applications à la géométrie[modifier | modifier le code]

Si A, B, C et D sont quatre points deux à deux distincts du plan complexe d'affixes respectives a, b, c et d, alors :

({\overrightarrow {AB}},\;{\overrightarrow {CD}})\equiv \arg {\frac {d-c}{b-a}}{\bmod {2\pi }}

.

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ (en) Dictionary of Mathematics, 2002, « phase ».
↑ (en) Konrad Knopp et Frederick Bagemihl, Theory of Functions Parts I and II, Dover Publications, 1996, 150 p. (ISBN 978-0-486-69219-7), p. 3.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Portail des mathématiques

[phase-1] (en) Dictionary of Mathematics, 2002, « phase ».

[2] (en) Konrad Knopp et Frederick Bagemihl, Theory of Functions Parts I and II, Dover Publications, 1996, 150 p. (ISBN 978-0-486-69219-7), p. 3.

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