Clôture parfaite
En mathématiques et plus précisément dans la théorie des extensions de corps, la clôture parfaite d'un corps est grosso modo une extension algébrique parfaite minimale.
Définition[modifier | modifier le code]
Soit un corps (commutatif). Une clôture parfaite de est une extension algébrique de telle que
- est un corps parfait et
- pour toute extension avec parfait, il existe un unique homomorphisme de -extensions .
Notons que si une clôture parfaite existe, elle sera unique à isomorphisme unique près. Si est lui-même parfait, alors il est sa propre clôture parfaite.
Existence[modifier | modifier le code]
Une clôture parfaite de existe et est unique à isomorphisme unique près.
En effet, on peut supposer non-parfait (donc de caractéristique ). Fixons une clôture algébrique de . Soit l'ensemble des éléments radiciels de sur . On sait que c'est une extension algébrique radicielle de . Montrons que c'est une clôture parfaite.
- D'abord est parfait : tout élément de est une puissance avec . Il suit que est radiciel sur puisque l'est. Donc . Donc est parfait.
- Soit est une extension avec un corps parfait. Pour tout , il existe tel que . Comme est parfait, il existe un unique tel que . On vérifie aisément que la correspondance établit un homomorphisme de -extensions . De plus pour tout homomorphisme de -extensions, , donc . Ce qui prouve l'unicité.
La clôture parfaite est aussi appelée clôture radicielle, ce qui est cohérent avec les propriétés ci-dessus. Elle est notée .
Critère de séparabilité de MacLane[modifier | modifier le code]
Soit un corps de caractéristique . Soit sa clôture parfaite dans une clôture algébrique de . Alors une sous-extension de est séparable si et seulement elle est linéairement disjointe de sur .
Référence[modifier | modifier le code]
N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, Masson, 1981, chap. V