Discussion:Infini

L'infini topologique

L'article initial :

Soit $(E,U)$ un espace topologique, son compactifié est l'espace $(E\cup \infty ,U')$, où ∞ est un élément extérieur à E, et U' est obtenu de U en lui ajoutant tous les complémentaires dans $E\cup \infty$ des fermés de $(E,U)$.

a été modifé. Il est en effet incorrect. Il consiste à rajouter un point à l'espace E, mais ce point est isolé. Or l'ajout d'un point isolé ne rendra pas E compact. Theon 9 jan 2005 à 15:42 (CET)

Si je m'en réfère à l'article "Compactifié d'Alexandrov", cela fonctionne si l'on rajoute la condition que (E,U) soit localement compact. (95.182.128.187 (discuter) 10 juin 2018 à 03:23 (CEST))

Déplacé de l'article mathématiques

(Peut-on incorporer ces réflexions dans cet article ?)

L'infini

La suite des entiers naturels (1, 2, 3, 4, etc.) comporte des nombres très grands : 10 millions, 300 000 milliards, etc.

Pourtant, on peut choisir un nombre aussi grand que l’on veut, si on lui ajoute 1, on trouvera toujours un nombre plus grand. On dit que cet ensemble est infini.

COMMENT SE NOTE L’INFINI ?

L’infini se note par un huit couché (∞), appelé lemniscate en mathématiques.

Cette notation a d’abord représenté pour les Romains le nombre 1 000, puis un grand nombre. La notation en lemniscate a été utilisée la première fois en 1665 par le mathématicien John Wallis pour représenter l’infini.

QUELLES SONT LES PROPRIÉTÉS DE L’INFINI ?

L’infini est intimement lié au zéro. La division par zéro est impossible : elle définit d’ailleurs pour certains l’infini.

Bien que l’infini ne soit pas à proprement parler un nombre, il existe tout de même des règles opératoires :

QUAND A-T-ON « DÉCOUVERT » L’INFINI ?

Ce n’est qu’au xixe siècle, grâce aux travaux du mathématicien allemand Georg Cantor, que l’on a pu donner un cadre mathématique satisfaisant à la notion d’infini.

La raison de ce travail tardif est que l’infini a longtemps été chargé de sens religieux. Au Moyen Âge, en Europe, la question de l’infini se trouve intimement liée à celle de Dieu. Pendant l’Antiquité, les Grecs avaient même évité de s’intéresser à l’infini car cela aurait pu remettre en question leur système de pensée.

Les mathématiciens grecs qui se sont intéressés à l’infini se sont trouvés confrontés à des paradoxes insurmontables, comme celui d’Achille et de la tortue énoncé par le philosophe et mathématicien grec Zénon d’Élée :

Achille décide de faire la course avec une tortue et de lui laisser de l’avance car elle est plus lente. Il la suit donc. Mais pendant qu’il avance à sa suite, celle-ci a avancé aussi. Il continue donc de la suivre, alors que la tortue continue elle aussi à avancer, même très peu. En raisonnant ainsi, Zénon affirme qu’Achille ne pourra jamais rattraper la tortue…

EXISTE-T-IL DES INFINIS PLUS GRANDS QUE D’AUTRES ?

Les travaux de Cantor ont permis de montrer qu’il existe plusieurs types d’infinis.

L’infini dénombrable correspond aux infinis que l’on peut « compter » : les entiers naturels (1, 2, 3, etc.) sont infinis. Cantor démontre ainsi qu’il y a autant de nombres entiers que de nombres entiers pairs et que de fractions !

En revanche, il existe infiniment plus de points sur un segment que de nombres entiers alors que ces derniers sont infinis.

En fait, il existe une infinité d’infinis différents.

À QUOI SERT L’INFINI ?

L’étude de l’infiniment grand est rattachée à celle de l’infiniment petit. Si l’étude de ces deux extrêmes a permis de faire des avancées impressionnantes dans tous les domaines scientifiques, en particulier en mathématiques, de nombreuses questions restent encore sans réponse en physique (peut-on diviser à l’infini la matière ?) ou encore en astronomie (l’Univers est-il fini ou infini ?).

Certains calculs d’aires et de volumes sont liés à ce que l’on appelle le calcul infinitésimal. Par exemple, pour calculer le volume d’une sphère, une méthode consiste à empiler des disques « infiniment fins » les uns sur les autres, puis à « additionner » les aires obtenues.

Un patchwork

Cet article fait un patchwork, qu'il faudrait le restructurer. Pierre de Lyon 18 mars 2006 à 14:15 (CET)

Définition d'un ensemble infini

Cette définition dans ces termes est-elle vraiment de Cantor ? A creuser.

L'infini fini

J'ai essayé de trouver quoi tirer de cette section assez incompréhensible et je ne vois pas, sauf peut-être une mise en garde sur les difficultés de l'axiomatisation de l'infini actuel, qui pourrait figurer ailleurs dans l'article.

Je propose de la supprimer. Pierre de Lyon 19 mai 2006 à 08:36 (CEST)

Il me parait, à moi aussi que tout le paragraphe petites réflexions sur l'infini n'apporte pas grand chose à l'article, la réflexion sur l'infini fini apparait déjà au moins six fois dans wikipedia (cet exemple semble plaire beaucoup) Paradoxe de l'égalité entre 0,9999... et 1, développement décimal, nombre rationnel, décimale récurrente, nombre réel, base d'or. Supprimer pourquoi pas mais à condition ne créer un véritable article sur l'infini et c'est une tâche infiniement (?) grande. Le sujet est complexe et multiple : de quel infini parle-ton ? Comment mettre dans un même article l'infini philosophique de Pascal, l'infini des cardinaux selon Cantor, sa notion des transfinis et sa conception théologique d'un Dieu situé au dela des infinis, l'infini de la perspective, les points à l'infini de la géométrie projective, le calcul infinitésimal de Leibniz puis l'analyse non standard, les paradoxes de Zénon et l'infini actuel et potentiel (qui mériteraient d'être clarifiés), la notion de limite à l'infini ou de limite infinie dans l'analyse réelle, somme et produit infini (preuve que 0 = \infty sur le site du collège albert camus , l'élément infini dans le Compactifié d'Alexandroff, la question philosophico-physique sur la finitude de l'univers.... Pour l'instant certaines de ces notions (et pas toutes) sont jetées en vrac dans cet article. Peut-être faudrait-il essayer de créer une chronologie de la notion de l'infini avec renvoi sur des articles spécifiques en s'inspirant par exemple de ce site? La tâche me parait démesurée. Bon courage à qui l'entreprendra. HB 19 mai 2006 à 11:20 (CEST)

Le film ?

Je n'ai pas compris la section "Le film" dans les petites réflexions. Ca vient peut-être de moi, mais est-il possible de l'éclaircir ?

Mafiou44 8 septembre 2006 à 13:24 (CEST)

Je serais plutôt partisan de la supprimer. Pierre de Lyon 26 novembre 2006 à 10:07 (CET)

Les notations

La phrase « L'élément ω sert à désigner l'infini dans les ensembles ordonnés » est pour moi incompréhensible, ou alors absolument stupide.

L'ensemble des réels ou un de ses intervalles, ou même Z, est ordonné et infini mais n'a pas d'élément ω . Je pense que l'auteur a voulu parler du premier élément infini (notion intuitive!) dans un ensemble bien ordonné (moins intuitif). Même dans ce cas, la phrase serait maladroite. Disons : « le symbole ω sert à désigner le premier etc. » -- Fr.Latreille 4 mars 2007 à 23:26 (CET)

La phrase n'a manifestement aucun sens effectivement. Proz 5 mars 2007 à 00:49 (CET)

Ensembles infinis non dénombrables

La phrase « Cantor montre du même coup... » est bidon : ce que Cantor a montré, c'est qu'il existe au moins un infini strictement supérieur à aleph-zéro. Par contre, il a laissé ouverte la question de savoir si le cardinal de R était ou non le plus petit. -- Fr.Latreille 4 mars 2007 à 23:49 (CET)

Par définition, à l'époque actuelle et déjà pour Cantor, aleph_1 est le plus petit cardinal non dénombrable. Cantor, en montrant que la puissance du Continu est strictement supérieure au dénombrable, montre bien du même coup qu'elle est supérieure ou égale à aleph_1. Pour savoir que l'égalité n'est pas démontrable il suffit de suivre le lien "hypothèse du continu" (inutile d'en rajouter à mon avis). Je répète ce qui est dans l'article mais c'est tout à fait explicite. Qu'est-ce qui est bidon ? Proz 5 mars 2007 à 00:18 (CET)

J'ai bien compris. J'ai seulement dit que "le continu est strictement supérieur au dénombrable" (résultat de l'argument diagonal de Cantor) et "le continu est au moins égal au plus petit infini strictement supérieur au dénombrable", c'est du pareil au même, pas la peine de le signaler lourdement ("..montre du même coup que..").

Par contre, on aurait pu soigner un peu mieux le reste : on passe sans prévenir de [0,1] à R entier, puis à l'ensemble des parties de N ; on pose comme évident qu'il y a un plus petit cardinal supérieur au dénombrable (après tout..); et surtout on ne signale pas que l'argument diagonal prouve du même coup (là, oui) l'existence d'une infinité de cardinaux infinis distincs.

-- Fr.Latreille 6 mars 2007 à 17:16 (CET)

Eh bien si c'est un malentendu tant mieux (c'aurait été plus simple d'être tout de suite plus explicite). La question stylistique (si je comprends bien) me semble d'importance modérée. Pour ce que tu proposes sur le fond : je dirais qu'il faudrait d'abord améliorer l'article nombre cardinal. Sur cet article : je partage en gros l'avis de HB de mai 2006 ci-dessus. Proz 7 mars 2007 à 01:22 (CET)

Moi aussi, je partage cet avis. Mais je trouve que l'article s'est cependant amélioré, mais il est très loin de la perfection. Pierre de Lyon 7 mars 2007 à 08:25 (CET)

8 couché?

Ce paragraphe nouvellement ajouté est partiellement redondant, donc à supprimer mais dit que Wallis aurait le premier utilisé ce signe, information à remonter dans le paragraphe notations (non sourcé mais plus convaincant), quelqu'un peut-il confirmer ? Proz 11 mai 2007 à 00:25 (CEST)

Peps 11 mai 2007 à 09:42 (CEST)

affirmations et sources?

cet article est plein d'informations multidisciplinaires, mais.... je vois qu'il y a des affirmations non sourcées, une approche historique floue pour de nombreuses disciplines évoquées. le lien externe donné à la fin ne suffit pas à esquiver la question. Qui pourrait compléter svp? Michelbailly 15 septembre 2007 à 23:59 (CEST)

Cet article n'a pas d'homogénéité et on ne sait pas bien où il va. Il souffre de ces défaut depuis sa création. L'amélioration n'a procédé que par petites touches. Il faudrait peut-être penser à une refonte complète. Pierre de Lyon 16 septembre 2007 à 09:12 (CEST)

Un lieu commun erroné.

Dans le chap géométrie, on lit un lieu common faux: "Les peintres de la Renaissance, cherchant une représentation réaliste du réel, abordèrent la question de l'infini lorsqu'ils développèrent les méthodes de représentation perspective. Des lignes horizontales parallèles « se coupent à l'infini » dans l'espace et en un point sur le tableau; d'une part ce point du tableau ainsi que la ligne d'horizon du tableau correspondent à une certaine réalité en deux dimensions (2D). etc…". D'ailleurs cette affirmation n'est absolument pas sourcée.

Or il ne faut pas se méprendre, cette vision est notre vision rétrospectve. Par exemple j'ai bien étudié le livre d'Alberti. Avec le recul du temps nous avons tendance à penser qu'Alberti a inventé la ligne d'horizon, droite qui contiendrait tous les points à l'infini des droites horizontales. Tel n'est pas le cas. Dans son livre, de pictura, 1435, cette ligne s'appelle la ligne centrale (lat: linea centrica) parce qu'elle contient le point central (lat: punctum centricum) du tableau qui est la projection orthogonale de l'oeil du peintre sur le plan du tableau. Pour Alberti, cette ligne centrale joue un rôle primordial: elle sert de limite et de borne (lat: terminus atque limes), aucune quantité ne peut la dépasser, sauf celles qui sont plus hautes que l'oeil du peintre. Comme on le voit d'après les termes latins, cette ligne est une limite au sens de borne, de frontière, mais ce n'est pas une limite au sens analytique moderne, ce n'est pas, comme nous la concevons, la limite-analytique de points qui tendraient vers l'infini sur des droites horizontales. Ce n'est pas non plus la projetée de toutes les droites d'intersection de deux plans horizontaux de l'espace projectif moderne. D'ailleurs Alberti n'a pas de préoccupation projective, son concept de droite centrale est purement métrique, la droite centrale sert uniquement d'invariant qui positionne la hauteur maximale des yeux de tous les personnages du tableau quel que soit l'éloignement de chaque personnage par rapport au peintre. Il semble bien qu'Alberti a inventé un droite importante de la géométrie projective sans s'en apercevoir, simplement avec des préoccupations métriques qui s'énonceraient ainsi: quelle est la taille apparente d'un personnage plus ou moins éloigné? Où se situent ses pieds sur le tableau? Où se situe(nt) le haut de sa tête, ses yeux à la rigueur? Si la notion de limite de quelque chose lorsque x tend vers l'infini n'existe pas chhez Alberti, qu'en est-il de la notion d'abscisse presque infinie qui serait deja une étape conceptuelle importante? La notion (ordinale) de positionnement d'un point presque à l'infini sur une droite, telle que nous la connaissons, n'existe pas chez Alberti, l'adjectif infini sert juste à parler de cardinalité d'un ensemble, par exemple quand il envisage la possibilité théorique de tracer les intersections d'un cercle avec un nombre presque infini de lignes parallèles (lat: paene infinitis parallelis).

Ceci débouche sur une proposition de modif de la rédaction du début. Les peintres du Quattrocento, cherchant une représentation réaliste du réel, abordèrent la méthode de projection de l'espace tridimensionnel sur le plan du tableau lorsqu'ils développèrent les méthodes de représentation perspective. Plus tard (je retrouverai l'auteur et la date) la question de l'infini découla des méthodes de représentation perspective. Des lignes horizontales parallèles « se coupent à l'infini » dans l'espace et en un point sur le tableau; d'une part ce point du tableau ainsi que la ligne d'horizon du tableau correspondent à une certaine réalité en deux dimensions (2D). etc...Michelbailly 10 octobre 2007 à 23:47 (CEST)

Renormalisation

Le § sur l'impossibilité de l'infini physique est peu clair. Si on entend par là pression, température, etc.... OK, une pression infinie n'a pas de sens ; par contre je ne vois pas en quoi la notion d'espace infini (au sens d'espace métrique non compact) créerait en elle-même un paradoxe, de sorte qu'un modèle d'univers devrait nécessairement être "fini" (compact). Tout ce paragraphe est très mal fichu.--Michel421 (d) 22 mars 2008 à 21:39 (CET)

Il y a besoin de sources.--Michel421 (d) 22 mars 2008 à 22:39 (CET)

Infini potentiel et infini actuel

Ce ne sont pas des concepts de mathématiques.--Michel421 (d) 23 mars 2008 à 14:42 (CET)

Si ce ne sont pas des concepts mathématiques, ça n'en est pas loin. Pierre de Lyon (d) 23 mars 2008 à 21:42 (CET)

Les mathématiques maintenant sont basées sur la théorie axiomatique des ensembles ZFC, c'est dire que tout objet mathématique est un ensemble, or il n'existe pas dans ZFC - ni d'ailleurs dans aucune des théories alternatives - d'ensemble potentiellement infini. Alors évidemment on peut toujours modéliser ces concepts de "être en puissance" et "être en acte" mais précisément ce sont des modèles, des applications des mathématiques, cela ne relève pas de la structure des mathématiques. D'ailleurs je ne pense pas que les anciens voyaient cela très différemment. L'opposition entre infini potentiel et infini actuel me semble être le produit spécifique d'une philosophie particulière à une époque particulière (la crise des fondements).--Michel421 (d) 23 mars 2008 à 22:50 (CET)

La vision « Les mathématiques maintenant sont basées sur la théorie axiomatique des ensembles ZFC, c'est dire que tout objet mathématique est un ensemble » est assez restrictive (donc pas encyclopédique), elle correspond à une vision certes majoritaire chez les mathématiciens d'aujourd'hui, mais dont peu maitrisent ZFC. Mais sous l'impulsion des logiciens de la théorie de la démonstration et des informaticiens, une mathématique se fonde de plus en plus sur la théorie des types. Dans ce cadre, on distingue les objets construits par induction, où on ne manipule pas d'objets infinis, et les objets fondés sur la co-induction où on manipule effectivement des objets infinis. Si l'on prend les développements faits an COQ, la plupart sont faits en utilisant seulement l'induction (donc l'infini potentiel). La manipulation de la co-induction en Coq reste délicate. Pierre de Lyon (d) 24 mars 2008 à 08:01 (CET)

Ceci dit, je ne défends pas la structure de l'article que je trouve un peu patchwork. Pierre de Lyon (d) 24 mars 2008 à 08:03 (CET)

L'induction porte sur des objets finis, pas sur des objets potentiellement infinis OK?--Michel421 (d) 24 mars 2008 à 11:55 (CET)

Oui pour les objets, mais l'ensemble ainsi construit (par exemple celui des naturels) est potentiellement infini.Pierre de Lyon (d) 25 mars 2008 à 16:57 (CET)

Bon ben...... Définitions inductives, f(n+1) = g[f(n)] c'est vieux comme Hérode, rien de nouveau. Tu construis successivement des objets définis à partir des premiers, à aucun moment tu ne construis un objet spécial "potentiellement infini".... Quelle est l'originalité de ce programme? Peux-tu me fournir un exemple bien précis?--Michel421 (d) 25 mars 2008 à 18:39 (CET)

Je veux dire, son originalité de ce point de vue.--Michel421 (d) 25 mars 2008 à 21:49 (CET)

D'une part, outre l'induction sur les entiers, il y a toute sortes d'inductions structurelles, ça c'est un peu nouveau, cela date des années 60. En revanche, la coinduction dans Coq, permet de manipuler, par exemple, comme objet la suite des entiers naturels, un objet infini. D'autre part, le calcul des constructions, le langage sous-jacent à Coq, est imprédicatif et cela est original. Pierre de Lyon (d) 6 avril 2008 à 14:58 (CEST)

En effet, on pourrait dire que l'axiome de l'infini dans ZF qui affirme l'existence d'un ensemble contenant les entiers, affirme en fait l'existence d'un infini actuel. JC.Raoult (discuter) 31 mars 2022 à 09:26 (CEST)

Les cardinaux infinis

Dans ce paragraphe il est dit un ensemble E est infini s'il existe une bijection entre E et une partie stricte de E, ça c'est la définition de Dedekind. D'après Tarski un ensemble E est fini si et seulement si toute famille de sous-ensembles de E admet un élément minimal pour l'inclusion. Et donc un ensemble est infini s'il existe une famille n'admettant pas d' élément minimal.

Le pb est que ces deux définitions ne sont équivalentes que par la grâce de l'axiome du choix. Sans cet axiome, un ensemble peut très bien être fini au sens de Dedekind et infini au sens de Tarski !

La définition du sens commun (existence d'une bijection sur l'ensemble de n premiers entiers naturels) équivaut à la définition de Tarski (mais cela suppose d'avoir préalablement défini les nombres entiers).

Apparemment donc, l'auteur du paragraphe suppose implicitement l'axiome du choix. Ce qui se confirme quand il parle "du" cardinal d'un ensemble : sans l'axiome du choix un ensemble n'a pas nécessairement un cardinal.--Michel421 (d) 24 mars 2008 à 12:27 (CET)

Oui, j'ai présupposé ZFC sans rien dire (dans l'esprit de ce qui est écrit dans les sous-paragraphes). C'est est trop imprécis et trop bref en l'état. Avis aux amateurs pour développer... Gth (d) 24 mars 2008 à 22:01 (CET)

Ibicrate

Ce passage m'apparaît suspect, d'autant que dans l'article Hippocrate de Chios ce dernier (appelé quelquefois Ibicrate pour ne pas le confondre avec le médecin) est présenté comme un idiot qui aurait inventé la preuve par l'absurde (peut-être on suppose un lien de cause à effet ). A moins que quelqu'un vienne avec des sources solides, je pense que l'on pourrait remplacer ça par ce que disait Aristote lui-même.--Michel421 (d) 29 mars 2008 à 22:21 (CET)

Quant à l'apeiron, ça vient d'Anaximandre de Milet, et ça n'a pas grand chose à voir, ça a plutôt l'air d'un infini sous-jacent à l'air, à l'eau et aux autres éléments ("actuel"??)--Michel421 (d) 29 mars 2008 à 22:35 (CET)

Ibicrate (suite) et refonte du paragraphe

Je ne trouve pas de référence étayant l'affirmation qu'Ibicrate est l'auteur de l'infini potentiel, donc comme on dit ici, "n'hésitez pas à améliorer"....si c'est possible.

D'autre part, plutôt que d'entrer sans se poser de question dans le cadre d'un stéréotype (infini actuel vs infini potentiel), je pense qu'il serait plus profond et plus utile de développer l'évolution de la communauté mathématique au cours des âges quant à l'usage et l'opérabilité du concept "infini".--Michel421 (d) 30 mars 2008 à 22:27 (CEST)

En géométrie

Ce paragraphe n'est pas sourcé du tout. Il faudrait une référence sur le Quattrocento, MichelBailly avait quelques bonnes idées là-dessus.

D'autre part peut-être serait-il bon de synthétiser en montrant la progression géométrie descriptive → géométrie projective → topologie dans un même paragraphe.--Michel421 (d) 6 avril 2008 à 12:48 (CEST)

En théorie des ensembles

Un ensemble E est infini si, et seulement si, il n'est équipotent à aucun intervalle borné de $\mathbb {N}$, c'est un peu un truisme, puisque les entiers sont eux-mêmes définis comme des ensembles finis.Pierre de Lyon (d) 9 juin 2008 à 18:44 (CEST)

En fait, il serait plus intéressant de montrer les différentes manières de définir l'infini, notamment par une propriété universelle utilisant les entiers (qui peuvent bien être définis sans le concept de fini, non ?) ou par une propriété existentielle d'une self-injection stricte ou d'une inclusion de l'ensemble des entiers. Il faudrait ensuite montrer que l'équivalence de ces définitions dépend de l'axiomatique choisie. Bref, il faut en tout cas montrer qu'il n'y a pas « une seule » définition de l'infini cardinal. Ambigraphe, le 10 juin 2008 à 09:56 (CEST)

qui peuvent bien être définis sans le concept de fini, j'en doute, mais j'aimerais qu'on me convainque. Pierre de Lyon (d) 10 juin 2008 à 15:13 (CEST)

En théorie des ensembles on peut définir un entier comme un ensemble transitif bien ordonné strictement par l'appartenance (un ordinal) et tel que chacun de ses éléments sauf ∅ a un prédécesseur. Maintenant est-ce que ça signifie vraiment qu'on a défini "entier" avant "fini" ? Ca semble une question plus philosophique que mathématique. On peut dire que l'on a défini "ordinal fini" (= entier) ce qui permet de définir "ensemble fini" (= équipotent à un entier). Dans pas mal de bouquins on définit d'abord les entiers puis les ensembles finis, mais il est possible de faire autrement. Par ailleurs, je ne sais pas s'il faut accorder trop d'importance aux questions techniques sur la définition de fini en théorie des ensembles dans cet article ? Proz (d) 10 juin 2008 à 20:30 (CEST)

En théorie des ensembles on peut définir un entier comme un ensemble transitif bien ordonné strictement par l'appartenance (un ordinal) et tel que lui même et chacun de ses éléments sauf ∅ a un prédécesseur (précision mise en gras, sinon on embrigade aussi oméga). J'avoue que je ne connaissais pas cette définition, que je trouve très judicieuse/élégante et digne d'être mentionnée qqpart, par exemple dans l'article entier.

A noter que si on veut définir les entiers on doit pouvoir y arriver par le haut, genre (énoncé informel) : "l'intersection à isomorphisme près de l'ensemble de base de toutes les structures modèles des axiomes de Peano". Mais ce serait p.e. abuser (appel au 2è voire 3è ordre + aux classes) et en regardant dans le détail on utilise p.e. les notions de "fini" ou d' "infini".

Sinon je crois que la notion d'ensemble infini est bcp plus simple à définir que celle d'entier; bicose~, pour le entiers, 1. le thm d'incomplétude si on les voit comme éléments de |N et 2. les définitions alternatives comme celle de Frege, qui voit un entier comme une classe d'équivalence pour la bijectabilité.

Et pour rebondir sur le début de la discussion, car en effet, parler d'intervalle (borné ou pas d'ailleurs; non?) sur |N c'est un peut tricher, me semble tout de même que la définition la plus simple à appréhender pour la notion d'ensemble infini est, ce que mentionne Ambigraphe (self-injection), "un ens. est infini s'il s'injecte dans une de ses parties strictes".

Question @ Proz (car je vois qu'il y a aussi une discussion sur ensemble infini ) c'est cette définition ou celles de Dedekind ou Tarski qui nécessite l'axiome du choix ? A moins que ce ne soit que simplement l'implication entre une définition et une autre qui nécessite AC ?

Je pense, comme dit Proz, qu'il ne nous faut pas squatter outrancièrement en considérations ensemblistes cet article infini qui doit traiter de la notion d'infini en toute généralité historique, philosophique, théologique ou autres (la mention de la revue de Sollers me semble un peu limite et relever d'une page d'homonymie, mais à défaut d'une telle page pas facile à mettre en branle, pourquoi pas); nos remarques peuvent être exploitées sur la page ensemble infini.

Aussi je pense qu'il y a de la philo (des maths) à entrelarder dans certain articles de maths. Mais j'avoue que c'est pas simple du tout de le faire (introduire des notions historiques est plus simple; ce que font tb certains) sans entrer dans ce qui est banni WP:TI. Contrairement au maths, quasi tout ce qui est dit en philo de pertinent est TI; c'est quasi consubstantiel à la discipline. Via nous sommes loin de voir Catégorie:philosophie de la logique ou Catégorie:philosophie des mathématiques être développés. .

Epsilon0 ε₀ 12 juin 2008 à 09:33 (CEST)

Pour répondre à la question sur AC : c'est simplement qu' avec AC il y a équivalence des définitions ; alors que sans AC un ensemble pourrait très bien n'admettre aucune bijection avec une partie stricte sans pour autant que l'on puisse compter ses éléments. Quant à l'intervalle, il doit être borné pour que l'on puisse dire que l'ensemble est fini (au sens usuel, qui équivaut à celui de Tarski). Pour moi un intervalle de N avait forcément deux bornes ; mais l'article intervalle de la WP francophone ne dit pas ça ; aussi Ambigraphe a-t-il rajouté "borné". Il a sans doute raison si c'est cet usage là qui est consacré.--Michel421 (d) 12 juin 2008 à 22:48 (CEST)

Merci pour ces précisions --Epsilon0 ε₀ 13 juin 2008 à 20:03 (CEST)

"Mille" au pluriel

J'ai corrigé la phrase "des milles et des cents" : "mille" est invariable, même au pluriel.

Kervagen (d) 22 août 2008 à 12:13 (CEST) 22 août 2008 à 12:13 (CEST)

Les notations

On ne voit pas trop pourquoi le symbole $\infty$ dériverait de $\omega$ ; s'il y a une ancienne tradition pour assimiler l'infini au dernier terme d'une série, qui dans le cas de l'alphabet grec est effectivement $\omega$, cela mériterait d'être mieux sourcé.

Le rapprochement avec Cantor n'est pas évident d'autant qu'il n'y a pas de dernier ordinal et que oméga est plutôt un premier terme - le premier ordinal infini. Pourquoi c'est ω et pas α je n'en sais rien mais s'il y a des références c'est le moment de les mettre.

Enfin $\infty$ utilisé traditionnellement en analyse comme infini potentiel n'a rien à voir avec les ordinaux. --Michel421 (d) 9 novembre 2008 à 10:34 (CET)

Vu l'historique : quelqu'un avait dit que $\omega$ décrivait les ensembles bien ordonnés - sans précision ; cela avait été corrigé puis plus tard il y a eu d'autres ajouts et du coup la phrase sur Cantor est un peu hors contexte.... maintenant ce serait finalement pour faire contraste avec la notation $\infty$ que Cantor aurait adopté le symbole oméga ; j'ai trouvé une source

http://www.asa3.org/ASA/PSCF/1993/PSCF3-93Hedman.html

académique mais pas très neutre/notoire. Je laisse comme c'est mais sur le plan historique il y aurait sans doute à creuser sur le pourquoi du oméga assimilé à l'infini (là-dessus par contre je n'ai rien trouvé) --Michel421 (d) 9 novembre 2008 à 22:31 (CET)

j'avais lu quelque part, et cela me semblais une bonne piste de réflexion, que le symbole serait issu de la représentation d'un sablier couché. Le message qui précède, non signé, a été déposé par 91.179.133.53

Difficulté d'appréhender la notion d'infini

En mathématiques la notion d'infini ne pose pas de difficultés de compréhension... Ces définitions sont manipulées sans états d'âme par les mathématiciens familiarisés par les notions abstraites... Pour les croyant , la notion d'infini est considérée comme une notion dépassant l'intelligence humaine et du domaine de la transcendance ,du divin.

En prépa au lycée saint-louis j'avais un excellent prof de maths :Damblans qui manipulait les notions d'infini comme tout bon mathématicien.

Je découvre aujourd'hui qu'il avait de profondes convictions religieuses et qu'il cherchait sans doute dans les mathématiques une réponse à la notion d'infini.Notamment avec les surface asymptotiques comme le paraboloïde Hyperbolique (constituant les toitures de certaines églises depuis les années 1950).

J'ai ajouté un lien externe le concernant dans l'article.

http://www.marcellin-fillere.com/Damblans.php

le Professeur Jean DAMBLANS (1922-2004)

« un chercheur d'infini »

Frydman Charles (d) 1 mars 2009 à 11:29 (CET)

J'ai supprimé le lien (cf wikipédia:liens externes : si les infos sont intéressantes, compléter l'article en y mettant éventuellement votre lien comme source. Nguyenld (d) 1 mars 2009 à 11:47 (CET)

Eglise Saint-Thibaut à Marly-le-roi Le -Pecq

Il m'a été demandé par Michel421 de préciser les références concernant la plaquette que j'ai cité dans l'article au paragraphe théologie.

J'avais demandée la plaquette en 2006 et elle m'a été gentiment envoyée par "les amis de Saint Thibaut". Il doit être possible leur en demander un autre exemplaire et je suppose que la plaquette est déposée à la BNF.

24 pages, Impr. Chaix-Desfossés (1965), ASIN: B0014WTGYE

La plaquette débute ainsi (dans un cadre vert): "Cette plaquette souvenir est dédiée à M. l'abbé Félix POTIER, qui a construit l'église Saint-Thibaut.

Parce qu'il s'attristait qu'il en soit autrement , nous la dédions également à tous ceux qui ont essayé de l'aider dans cette tâche."

Ci-après un extrait de la plaquette au format PDF . Le téléchargement peut prendre quelques minutes.

http://myreader.toile-libre.org/frychar.pdf

Frydman Charles (d) 17 mars 2009 à 05:16 (CET)

Tour de Babel : pas évident

Il faudrait une référence, et je ne vois pas comment on pourrait la trouver, car la bible en la matière est .... la Bible, or ce qu'elle en dit est extrêmement succinct, et ne parle pas de l'infini. A ma connaissance, aucune source secondaire n'est possible, sauf si des archéologues retrouvent les matériaux de la tour dans le désert irakien, accompagnés de texte cunéiforme qui nous expliquerait les motivations des bâtisseurs .... --Michel421 (d) 19 mars 2009 à 00:35 (CET) et en plus, ce ne serait pas forcément dans le désert, ce serait dans la vallée du Sinear, donc vraisemblablement ça ne serait pas passé inaperçu --Michel421 (d) 19 mars 2009 à 00:46 (CET)

Je viens de trouver sur un blog un texte de Stefan Zweig qui fait allusion à l'infini.Je le livre "brut de décoffrage ,à vérifier. http://pascalfaucon.blogspot.com/2008/12/la-tour-de-babel-par-stefan-zweig.html

Leurs sages s’aperçurent qu’une science pratiquée par un peuple seul ne pouvait atteindre l’infini, bientôt les érudits virent aussi qu’échanger des connaissances faisait progresser tout le monde plus vite, les poètes traduisirent les paroles de leurs frères dans leurs propres langues et la musique, la seule qui ne soit pas assujettie au lien étroit de la langue, servit de langage commun aux émotions.

Je mets la référence dans l'article, cela semble plausible.

Frydman Charles (d) 19 mars 2009 à 06:22 (CET)

Bijection entre N et Q

Comment peut-il avoir une bijection entre \mathbb{N} et \mathbb{Q}^+ et l'élément 6 est associé à 2/2=1/1 donc le même que l'élément 2.--A.ouerfelli (d) 11 avril 2009 à 22:34 (CEST)

Il semble effectivement y avoir un problème avec la méthode exposée dans l'article. Mieux vaut voir l'article ensemble dénombrable --Michel421 (d) 12 avril 2009 à 00:19 (CEST)

Quel problème ? Ça paraissait clair et assez élégant. rv¹⁷²⁹ 13 avril 2009 à 00:04 (CEST)

Le problème que ça ne marche pas (voir la remarque de ouerfelli au-dessus).--Michel421 (d) 13 avril 2009 à 09:44 (CEST)

A.ouerfili présente la fraction 2/2 qui n'est pas irréductible. La méthode exposée partait de la forme irréductible d'un rationnel.

• pour p+q=1, on a p=0 et q=1 soit r=0 =f(1)
• pour p+q=2, on a p=1 et q=1 soit r=1=f(2)
• pour p+q=3, on a p=1 et q=2 soit r=1/2=f(3) ou p=2, q=1 soit r=2=f(4)
• pour p+q=4, on a p=1 et q=3 soit r=1/3=f(5), p=3 et q=1 soit r=3=f(6)...

Maintenant, faut-il remettre dans l'article, cette méthode ou préférer un allègement avec renvoi vers un autre article, c'est un choix éditorial. HB (d) 13 avril 2009 à 09:58 (CEST)

Oui, j'avais oublié cette clause que la fraction soit irréductible. Pour le reste, la question est de savoir si cette fraction irréductible peut être trouvée facilement ; et dans l'autre sens, si étant donnée une fraction on peut calculer facilement le numéro. Le but étant de démontrer l'existence d'une bijection, la bijection entre N et N² suffit pour déduire la bijection entre N et Q⁺. --Michel421 (d) 13 avril 2009 à 13:11 (CEST)

Pour éviter les confusions, il faut dire qu'on doit sauter les fractions non irréductibles.--A.ouerfelli (d) 13 avril 2009 à 15:19 (CEST)

C'était précisé de façon claire dans l’article. Pour éviter les confusions, il faut lire. rv¹⁷²⁹ 13 avril 2009 à 16:31 (CEST)

Dans le corps des nombres réels

Je ne vois pas ce que ce paragraphe a à voir avec le concept d'infini. Certes, il s'agit d'un corps infini, mais ça n'est pas le seul. Je note d'ailleurs que le mot « infini » n'y figure pas. Je propose de le supprimer. Pierre de Lyon (d) 13 avril 2009 à 21:34 (CEST)

1. rv¹⁷²⁹ 13 avril 2009 à 21:43 (CEST)

 Neutre avec tendance  Conserver. en fait le sujet du paragraphe n'est pas R mais la droite réelle achevée ; l'infini y intervient par le symbole +∞ qui représente quelque chose de "plus grand que tous les réels". Plus grand que tous les réels, c'est un autre genre d'infini (d'ailleurs à ce compte il faudrait aussi supprimer le § "en topologie", où "voisinage de l'infini" est une clause de style - et supprimer aussi ce qui se rapporte à la mesure, comme le paragraphe "en physique"). Peut-être que l'article devrait mieux sérier les différentes acceptions du terme, il y a beaucoup de choses à éclaircir (l'infini potentiel/actuel utilisé quand on parle de durée ou d'étendue a-t-il quelque chose à voir avec l'infini potentiel/actuel utilisé quand on parle de cardinalité ?), cela demande du boulot et des sources. C'est vrai que c'est plus vite fait de juste supprimer ce qui ne parle pas de cardinalité. --Michel421 (d) 13 avril 2009 à 22:33 (CEST)

En fait, je change d’avis. La construction de R fait un usage immodéré de l’infini. Par contre il faut commenter. Il serait également pertinent, à mon avis, de dire un mot sur les ordinaux infinis, qui sont quand-même beaucoup plus beaux que les cardinaux. rv¹⁷²⁹ 14 avril 2009 à 10:15 (CEST)

Oui mais alors le discours sur la structure de corps n'a pas sa place ici puisque l'ajout de ∞ et de -∞ la lui enlève. Je pense qu'il faut reprendre ce paragraphe en profondeur. Pierre de Lyon (d) 14 avril 2009 à 21:14 (CEST)

Mais est-ce le paragraphe qu'il faut réviser, ou le plan de l'article ? Ce paragraphe est l'exemple typique d'un objet où interviennent deux concepts différents d'infini : 2^ℵ_o la cardinalité et ∝ l'étendue. --Michel421 (d) 14 avril 2009 à 23:19 (CEST)

Introduction

Michel421 avait supprimé avec raison une section confuse, dite Généralités, pour un article qui déjà n'avait pas besoin d'une telle confusion. L'IP 84.99.107.74 l'a rétablie. Je propose qu'on en discute ici pour réfléchir si une telle section est nécessaire. Je n'en suis pas personnellement partisan. --Pierre de Lyon (d) 23 décembre 2009 à 09:23 (CET)

Il me semble que cette section "généralités", qui en l'état en effet n'est pas satisfaisante, soit une éventuelle base pour une introduction réelle à la notion, ce qu'il n'y a pas encore dans l'article. Voir aussi Discussion utilisateur:Michel421#supression infini ce que dit l'ip. --Epsilon0 ε₀ 23 décembre 2009 à 10:58 (CET)

Le texte de l'IP parlait de trois niveaux : le nombre, l'espace et l'être. L'être, c'est clair que le rapport avec l'infini n'est pas évident, et que cette section relève du wikiprojet religion, à condition d'y joindre de multiples sources. Le nombre et l'espace, cela rejoint un peu ce dont je parlais dans la discussion précédente sur la cardinalité et l'étendue, et effectivement cela me parait une distinction à faire dans l'intro, distinction qu'on pourrait répercuter sur l'organisation de l'article (rapports entre finitude et compacité). ---Michel421 ^{parfaitement agnostique} 26 décembre 2009 à 14:43 (CET)

J'ai tenté hier une dernière version de ma généralité, elle a re été supprimée alors que je citais 2 des théologiens à l'origine, ou en accord, avec le courant de pensée que j'évoquais. C'est vrai que ce qui était intéressant c'était le fait d'appliquer l'infini à : les nbres, l'espace, puis un être. Si je supprime le paragraphe de l'application de l'infini à l'être (dieu) ça sera beaucoup moins pertinent. Vous avez les données, faites ce que vous voulez : tout supprimer, rogner, ou supprimer juste le paragraphe sur l'infini de l'être. Moi je ne touche plus à rien. 84.99.107.74 (d) 26 décembre 2009 à 20:37 (CET)

Il faudrait avoir les références précises de ce que Maurice Blondel et Jean Daniélou ont écrit (titre, éditeur, n° de page). Dans l'article Maurice Blondel j'ai trouvé la phrase Une de ces principale idées est que l'action seule ne peut pas satisfaire à l'ambition humaine de dépassement du transfini, qui ne peut être satisfait que par Dieu, qu'il décrit comme « premier et dernier principe » il semble que le thème soit l'action plutôt que l'infini.---Michel421 ^{parfaitement agnostique} 27 décembre 2009 à 17:58 (CET)

Je suis désolé, j'ai avais écrit sur papier (classeurs) les théories de ces 2 théologiens philosophes trouvées sur des bouquins du temps de mes études, mais je serais bien incapable de dire sur quel livre et à quelle page. Peut-être si je retrouve sur internet.84.99.107.74 (d) 27 décembre 2009 à 18:26 (CET)

Cardinal de von Neumann ?

J'ai effacé "de von Neumann" dans une définition en début de "en théorie des ensembles" ; je n'ai jamais vu "cardinal de von Neumann de E" ailleurs qu'ici ; il y a 24 hits Google dont un en français (cet article de WP), 2 en charabia (worldlingo), et 21 en espagnol. Donc si on était sur la WP espagnole peut-être je l'aurais laissé..... Michel421 _{parfaitement agnostique} 21 juin 2010 à 23:03 (CEST) Je rectifie : il y en a 1 en portugais donc ça fait 20 en espagnol. Michel421 _{parfaitement agnostique} 21 juin 2010 à 23:23 (CEST)

§ philo

J'ai mis un refnec car pour un passage comme celui-ci il faut des précisions (éditeur, édition, ISBN, n° des pages) ; de plus je pense que ça ne doit pas être livré comme ça brut de décoffrage, il faut un minimum de rédaction ; enfin peut-on ne parler que de Kant ? Si on fait un paragraphe philo, il faut qu'il se développe un peu. Michel421 _{parfaitement agnostique} 14 novembre 2010 à 17:58 (CET)

Pour un ouvrage classique comme celui-ci éditeur, édition, ISBN, n° des pages n'est pas pertinent tant il y a des éditions, par contre commme l'ouvrage a une table des matière très développée, voir [1], on peut préciser si on le souhaite Critique de la raison pure/Partie 2/Division 2/Livre 2/Chapitre 2 voir ici en donnant les noms des sous parties. Aussi ces antinomies 1/ sont très faciles à trouver dans l'ouvrage et 2/ ce sont quelques unes des parties les plus connues de l'ouvrage.

Sinon d'accord avec toi pour contextualiser et bien sûr que la section philo doit être développée (mais pas par moi ;-) ). --Epsilon0 ε₀ 14 novembre 2010 à 20:11 (CET)

philo : nouveaux développements

2 nouveaux et des IP ont étoffé cette section, et c'est sourcé. Mais j'ai peur qu'une bonne part de la section sur Cantor ne soit en doublon avec ce qui est dit dans la partie mathématique. Il faudra sans doute penser à organiser tout ça. Michel421 _{parfaitement agnostique} 19 avril 2011 à 21:37 (CEST)

Scission

Suite à l'appel de Michel421 sur le Thé, je propose d'extraire la partie mathématique de l'article vers un article « Infini (mathématiques) » de philosophie des mathématiques, qui renverra le lecteur aux différentes notions de paradoxe de Zénon, de nombre transfini, de limite, d'infiniment petit, de point et droite à l'infini, de compactification de la droite réelle et j'en passe.

La présente page peut soit devenir une sorte de page d'homonymie, soit garder l'article sur la notion d'infini en philosophie et théologie. Ambigraphe, le 28 avril 2011 à 09:49 (CEST)

Je serais pour une scission également, mais le contour de la scission ne m'apparait pas clair. En toute logique, Infini (mathématiques) devrait reprendre le paragraphe "Mathématiques" de cet article, mais ce n'est pas vraiment ce que tu proposes.

En fait, la scission que tu proposes est plutôt Infini (philosophie), qui reprendrait une bonne partie du paragraphe "Philosophie" ? Cela aurait un sens, car la partie philosophique est par essence multi-domaine, et touche aussi bien la théologie, les mathématiques, la physique, et je ne vois pas bien comment exporter tout cela dans un article nommé Infini (mathématiques). Exporter juste la partie "philosophie mathématique" ne me parait pas praticable car les philosophes anciens ne faisaient pas vraiment de distinction entre théologie, mathématiques et physique. Cordialement --Jean-Christophe BENOIST (d) 28 avril 2011 à 11:01 (CEST)

La scission me parait prématurée et je n'en comprends pas les contours. Il vaut mieux essayer déjà d'harmoniser. Il y a quelques flous (voir incorrections) dans la partie mathématique des nouveaux ajouts en philosophie des math. (qui semblent globablement très bien par ailleurs). La partie préexistante "En mathématiques" fait franchement catalogue, est n'est pas au même niveau que ce qui a été ajouté. ce serait déjà bien de s'appuyer un peu plus sur l'existant (inutile de multiplier les démonstrations de N x N ou Q dénombrable, il me semble que celles de l'article ensemble dénombrable suffisent). Appel aux nouveaux intervenants s'ils lisent cette page : pouvez-vous présenter votre projet ? Avez-vous un avis "global" sur l'article (hors la partie philosophie ?). Proz (d) 28 avril 2011 à 18:55 (CEST)

Je ne pense pas qu'on puisse faire de scission, car cet article est listé dans la sélection transversale, (articles that every wikipedia should have) il doit y avoir un article « infini » tout court ; dès lors je ne vois pas comment on pourrait en extraire une partie (que ce soit mathématiques ou philosophie) pour en faire un article distinct. Michel421 _{parfaitement agnostique} 30 avril 2011 à 17:14 (CEST)

Cardinalité, puissance, etc.

Quelques remarques :

Dans le paragraphe 3.7.2.2 actuel (Cantor --> Dénombrement des ensembles : la cardinalité et la puissance) il y a confusion j'ai l'impression entre un emploi ancien du mot puissance et ensemble des parties. Il n'y a pas à utiliser l'ensemble des parties pour "comparer les nombres infinis". Ce paragraphe semble superflu.

Section suivante : la "puissance" (mieux vaudrait dire le cardinal de l'ensemble des parties) de N est celui de R.

Plusieurs des paragraphes gagneraient à s'appuyer sur théorème de Cantor, ensemble dénombrable par exemple.

La partie sur les nombres transfinis contient des imprécisions, la suite des alephs ne s'arrête pas à omega, {a1, a2, a3 ... an, b} a même type d'ordre que {b, a1, a2, a3... an}, contrairement à ce qui est dit, il faut prendre un ensemble infini, ... Proz (d) 28 avril 2011 à 21:46 (CEST)

Galilée et la partie aussi grande que le tout

Au § 3.7.3.3, il est dit (ce qui est juste) que les découvertes de Cantor avaient pris le contre-pied de l'assertion selon laquelle « la partie est plus petite que le tout », et que cette dernière assertion avait jusque là été généralement acceptée par les philosophes ; malheureusement la référence donnée (n° 89, Lachièze-Rey), cite Galilée alors que c'est précisément l'exception qui confirme la règle, du moins selon Bourbaki (voir plus bas dans l'article) : pour Galilée, en effet, quand on parle de grandeurs infinies, le tout (l'ensemble des nombres entiers) n'est pas plus grand que la partie (les carrés des nombres entiers). Michel421 _{parfaitement agnostique} 28 avril 2011 à 23:40 (CEST)

Il est écrit que Galilée en déduit qu'il ne faut pas considérer d'ensembles infinis (infini en acte), ça ne semble pas contradictoire. Proz (d) 29 avril 2011 à 00:27 (CEST)

Où tu as vu ça ? Je parle de 3.7.3.3 ; qui est subdivisé en 3.1 et 3.2. Visiblement on ne parle pas de la même chose. Tu as lu le texte de Lachièze-Rey ? Michel421 _{parfaitement agnostique} 29 avril 2011 à 19:48 (CEST)