Entier d'Eisenstein

Les entiers d'Eisenstein sont les points d'intersection d'un treillis triangulaire dans le plan complexe.

En mathématiques, les entiers d'Eisenstein, nommés en l'honneur du mathématicien Gotthold Eisenstein, sont les nombres complexes de la forme

z=a+b\,\omega

où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs et

\omega ={\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}=\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} /3}

est une racine cubique primitive de l'unité (souvent autrement notée j). Les entiers d'Eisenstein forment un réseau triangulaire dans le plan complexe. Ils contrastent avec les entiers de Gauss qui forment un réseau carré dans le plan complexe. Ils constituent un exemple d'anneau des entiers d'un corps quadratique qui, comme tout anneau des entiers d'une extension finie du corps des rationnels, est un anneau de Dedekind.

Les entiers d'Eisenstein sont utilisés en arithmétique modulaire pour la résolution d'équations diophantiennes, par exemple dans une démonstration du dernier théorème de Fermat dans un cas élémentaire : celui de l'exposant 3. L'équation x² + 3y² = p, traitée dans l'article « Théorème des deux carrés de Fermat », possède aussi une méthode de résolution utilisant ces entiers.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Les entiers d'Eisenstein forment un anneau commutatif euclidien.

Tout entier d'Eisenstein $a + b ω$ est un entier algébrique, comme une racine du polynôme

X^{2}+(b-2a)X+(a^{2}-ab+b^{2}).

En particulier, ω satisfait l'équation

\omega ^{2}+\omega +1=0.

L'anneau des entiers d'Eisenstein est en fait l'anneau de tous les entiers algébriques du corps quadratique ℚ[ω] = ℚ[ $i$ √3]. Son discriminant est égal à –12.

Le groupe des unités de cet anneau est le groupe cyclique formé par les six racines sixièmes de l'unité dans le corps des complexes (c'est-à-dire ±1, ±ω, ±ω²). En effet, ce sont les seuls entiers d'Eisenstein de module 1.

Nombres premiers d'Eisenstein[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Nombre d'Eisenstein premier.

Si x et y sont des entiers d'Eisenstein, nous disons que x divise y s'il existe un certain entier d'Eisenstein z tel que y = z x.

Ceci étend la notion de divisibilité des entiers ordinaires. Par conséquent, nous pouvons aussi étendre la notion de primalité. Un entier d'Eisenstein x non nul et non inversible est dit nombre d'Eisenstein premier si ses seuls diviseurs sont de la forme ux et u où u est l'une des six unités.

Tout nombre premier ordinaire (ou « nombre premier rationnel ») égal à 3 ou congru à 1 mod 3 est de la forme $x^{2}-xy+y^{2}$ pour certains entiers $x, y$ et peut être par conséquent factorisé en $(x+\omega y)(x+\omega ^{2}y)$ et à cause de ceci, n'est pas premier dans les entiers d'Eisenstein. Les nombres premiers ordinaires congrus à 2 mod 3 ne peuvent pas être factorisés de cette manière et sont premiers dans les entiers d'Eisenstein.

Anneau euclidien[modifier | modifier le code]

L'anneau des entiers d'Eisenstein forme un anneau euclidien pour la norme N définie par

{\begin{aligned}N(a+b\,\omega )&=|a+b\,\omega |^{2}\\&=(a+b\,\omega )(a+b\,{\bar {\omega }})\\&=a^{2}+ab(\omega +{\bar {\omega }})+b^{2}\\&=a^{2}-ab+b^{2}\\&={\frac {(2a-b)^{2}+3b^{2}}{4}}.\end{aligned}}

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Eisenstein Integer », sur MathWorld

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) K. Ireland et M. Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, coll. « GTM » (n^o 84), 1982 (1^re éd. 1972) (lire en ligne), p. 109-114

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Eisenstein integer » (voir la liste des auteurs).

Arithmétique et théorie des nombres