Nilpotent

En mathématiques, un élément x d'un anneau unitaire (ou même d'un pseudo-anneau) est dit nilpotent s'il existe un entier naturel n non nul tel que xⁿ = 0.

Exemples[modifier | modifier le code]

Cette définition peut être appliquée en particulier aux matrices carrées. La matrice

A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}

est nilpotente parce que $A$ ³ = 0. On parle alors de matrice nilpotente et d'endomorphisme nilpotent.

Dans l'anneau ℤ/9ℤ, la classe de 3 est nilpotente parce que 3² est congru à 0 modulo 9.

L'anneau des coquaternions contient un cône de nilpotents.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Aucun élément nilpotent n'est inversible (sauf dans l'anneau nul). Tous les éléments nilpotents non nuls sont des diviseurs de zéro.

Une matrice carrée A d'ordre n à coefficients dans un corps commutatif est nilpotente si et seulement si son polynôme caractéristique est Xⁿ, ce qui est le cas si et seulement si Aⁿ = 0.

Les éléments nilpotents d'un anneau commutatif forment un idéal, qui est le nilradical de l'anneau.

Si x est nilpotent, alors 1 – x est inversible ; en effet, xⁿ = 0 entraîne :

(1 – x)(1 + x + x² + … + x^{n – 1}) = 1 – xⁿ = 1, et de même (1 + x + x² + … + x^{n – 1})(1 – x) = 1 – xⁿ = 1.

Ainsi 1 – x est inversible, d'inverse 1 + x + x² + … + x^{n – 1}.

Anneau réduit[modifier | modifier le code]

Un anneau sans élément nilpotent autre que 0 est dit réduit ; cette notion est importante en géométrie algébrique. L'anneau quotient d'un anneau commutatif par son nilradical est un anneau réduit.