Фигура (дифференциальная геометрия)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Фигу́ра (англ. shape) — любое подмножество некоторого однородного пространства с фундаментальной группой, которое можно включить в некоторое пространство фигуры — множество подмножеств этого пространства такое, что это множество изоморфно некоторому пространству геометрического объекта. Компоненты геометрического объекта называются координатами соответствующей фигуры[1].

Ранг, жанр, характеристика и тип геометрического объекта называются рангом, жанром, характеристикой и типом соответствующей фигуры. Вместе они образуют арифметические инварианты фигуры. Например, окружность в трёхмерном евклидовом пространстве — это фигура ранга 6, жанра 1, характеристики 1 и типа 1; точка в трёхмерном проективном пространстве — это фигура ранга 3, жанра 0, характеристики 2 и типа 1[2].

Вполне интегрируемая система уравнений Пфаффа, определяющая геометрический объект, называется системой уравнений инвариантности (стационарности) фигуры[3].

Простая и индуцирующая фигура

[править | править код]

Пусть даны и — две некоторые фигуры некоторого однородного пространства. Если существует отображение пространства фигуры на пространство фигуры такое, что любой геометрический объект, соответствующий фигуре , охватывается любым геометрическим объектом, соответствующим фигуре , то говорят, что фигура охватывает, или индуцирует, фигуру (равно фигуру охватывается, или индуцируется, фигурой )[3].

Фигура ранга называется простой, если она не охватывает никакой другой фигуры меньшего ранга. Фигура называется индуцирующей фигурой индекса , если существует охватываемая ею фигура ранга , причем ранг любой другой фигуры , охватываемой фигурой , не превосходит [3].

Например, точка, -мерная плоскость, гиперквадрика в -мерном проективном пространстве — простые фигуры. Гиперквадрика в -мерном аффинном пространстве и -мерная () квадрика в -мерном проективном пространстве — индуцирующие фигуры соответственно индексов и [3].

Пара фигур. Коэффициент инцидентности

[править | править код]

Парой фигур называется упорядоченная множество двух фигур. Коэффициентом инцидентности пары фигур называется число

,

где и — ранги фигур и соответственно, а — ранг системы форм

, , , , —

левых частей уравнений стационарности фигур и соответственно. Если коэффициент инцидентности пары , то пара называется неинцидентной[3].

Примечания

[править | править код]